Чему равен тангенс суммы

Тангенс суммы двух углов - это важная тригонометрическая формула, позволяющая выразить тангенс суммы через тангенсы отдельных углов. Рассмотрим ее вывод и применение.

Формула тангенса суммы

Для любых двух углов α и β (где cos(α+β) ≠ 0 и cosα·cosβ ≠ 0) справедлива формула:

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ)

Вывод формулы

1. Используем определение тангенса: tan(α+β) = sin(α+β)/cos(α+β)
2. Применяем формулы синуса и косинуса суммы:
   • sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
   • cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
3. Делим числитель и знаменатель на cosα·cosβ
4. Получаем искомую формулу

Примеры применения

Частные случаи

• При α = β: tan(2α) = 2tanα/(1 - tan²α) - формула двойного угла
• При tanα·tanβ = 1: тангенс суммы не существует (знаменатель обращается в ноль)
• Для малых углов: tan(α+β) ≈ α + β (если углы в радианах)

Геометрическая интерпретация

Формулу можно представить через соотношение сторон прямоугольного треугольника, где:

• tanα и tanβ - тангенсы составляющих углов
• tan(α+β) - тангенс результирующего угла

Применение в задачах

1. Упрощение тригонометрических выражений
2. Решение уравнений
3. Доказательство тождеств
4. Вычисление точных значений тригонометрических функций

Формула тангенса суммы является мощным инструментом в тригонометрии и находит применение в различных разделах математики, физики и инженерных расчетов.