Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника является важной характеристикой в геометрии, позволяющей решать разнообразные задачи на вычисление углов многоугольников. Данная формула выводится из свойства суммы углов треугольника.

Основная формула

Для любого выпуклого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле:

S = (n - 2) × 180°

где n - количество сторон (и углов) многоугольника.

Доказательство формулы

Формула выводится следующим образом:

1. Выпуклый n-угольник можно разбить на (n - 2) треугольника, проведя диагонали из одной вершины
2. Сумма углов каждого треугольника равна 180°
3. Общая сумма углов многоугольника равна сумме углов всех полученных треугольников
4. Следовательно, S = (n - 2) × 180°

Примеры вычислений

Сумма внешних углов

Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°, независимо от количества сторон:

Σ внешних углов = 360°

Применение формулы

Зная сумму углов n-угольника, можно:

• Находить неизвестные углы правильного многоугольника
• Определять количество сторон многоугольника по известной сумме углов
• Решать задачи на построение многоугольников
• Проверять возможность существования многоугольника с заданными углами

Особые случаи

Для правильных многоугольников (с равными сторонами и углами):

• Каждый внутренний угол = (n-2)×180°/n
• Каждый внешний угол = 360°/n
• Внутренний и внешний углы в сумме дают 180°

Заключение

Формула суммы углов выпуклого n-угольника является мощным инструментом в геометрии, связывающим количество сторон многоугольника с суммой его внутренних углов. Понимание этого принципа существенно расширяет возможности решения геометрических задач.